Kamis, 27 Oktober 2011

0 Gerak Harmonik

Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.
Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah : clip_image002
Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.
Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya sama dengan nol, beban diam.
clip_image003
Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini cenderung menggerakkan beban keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.
F = - k y ; k tetapan pegas.
Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).
Tanda negatif ( - ) harus digunakan karena arah F dan Y selalu berlawanan.
Menurut Hukum Newton II, pada gerak benda ini berlaku :
F = m .a
Gaya pemulih pada gerak benda ini adalah : F = - k . y
clip_image005
Persamaan ini disebut persamaan differensial gerak harmonik sederhana.


GERAK HARMONIK SEDERHANA.
Untuk mencari persamaan gerak harmonik sederhana dengan jalan mencari penyelesaian persamaan diferensial gerak harmonik sederhana yaitu suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga diturunkan dua kali terhadap t diperoleh negatif dari fungsi tersebut dikalikan dengan suatu. Fungsi yang mempunyai sifat demikian adalah fungsi Sinus atau fungsi Cosinus.
Misalkan diambil fungsi sinus sebagai penyelesaian : y = A sin ( w t + q )
dengan A, w, dan q masih harus dicari harganya.
Bila persamaan di atas diturunkan dua kali terhadap waktu t maka diperoleh :
clip_image007
Bila persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :
clip_image009
Jadi agar fungsi sin tersebut benar-benar menjadi penyelesaian persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :
clip_image011 atau clip_image013
Jika waktu t dalam persamaan y = A sin ( w t + q ) ditambah dengan clip_image015 maka,
diperoleh :
clip_image017
clip_image019
clip_image021
Jadi fungsi tersebut berulang kembali setelah selang waktu clip_image015[1] . Oleh sebab itu,clip_image015[2] adalah periode geraknya, atau clip_image024
Karena clip_image011[1] maka diperoleh :
clip_image027
dan clip_image029
jadi : clip_image031
Besaran w disebut juga frekwensi sudut (anguler), karena dapat diartikan sebagai besar sudut (dalam radian) yang dikelilingi perdetik.
Persamaan simpangan gerak harmonis adalah : y = A sin ( w t + q )
Perhatikan persamaan di atas.
Sinus mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1, simpangan y mempunyai maksimum A diukur dari posisi seimbang y = 0. A (y maksimum) disebut Amplitudo.
Besaran ( w t + q ) disebut fase gerak dan w disebut konstanta fase.
Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana dicari dengan jalan mendeferensialkan persamaan geraknya terhadap waktu.
Simpangan gerak harmonik sederhana : y = A sin ( w t + q )
Kecepatannya : clip_image033
percepatannya : clip_image035
PHASE ( j )
Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya). Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.
clip_image036
Bila titik Q telah bergetar t detik maka phasenya : clip_image038
Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya : clip_image040
Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q dalam hal yang pertama.
Mudah dipahami bahwa titik-titik yang phasenya clip_image042 keadaannya sama.
Perbedaan phase.
Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 , 4 , ..... dst.
Titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai perbedaan phase : clip_image044
SUPERPOSISI 2 GERAK HARMONIK SEDERHANA YANG
FREKWENSINYA SAMA.
Misalkan sebuah benda melakukan 2 gerak harmonik secara bersama-sama dengan persamaan :
y1 = A1 sin ( w t + q1 ) dan y2 = A2 sin ( w t + q2 )
Gerak resultannya : y = y1 + y2
A sin ( w t + q ) = A1 sin ( w t + q1 ) = A2 sin ( w t + q2 )
Menurut rumus trigonometri :
A sin ( w t + q ) = A sin w t cos q + A cos w t sin q
A1 sin ( w t + q1 ) = A1 sin w t cos q1 + A1 cos w t sin q1
A2 sin ( w t + q2 ) = A2 sin w t cos q2 + A2 cos w t sin q2
Maka diperoleh hubungan :
A cos q = A1 cos q1 + A2 cos q2
A sin q = A1 sin q1 + A2 sin q2
jadi clip_image046
Sedangkan amplitudo gerak resultan di dapat dengan mengkuadratkan persamaan di atas. Diperoleh :
A2 = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos ( q1 - q2 )
atau
clip_image048
Cara di atas adalah cara penyelesaian dengan matematis.
Berikut dapat diselesaikan dengan cara grafis.
yaitu dengan menggambar masing-masing persamaan gerak harmonis kemudian dijumlahkan secara aljabar dari masing-masing amplitudo setiap detik getarannya untuk dilukis.
Misal dua buah gerak harmonis masing-masing :
y1 = 3 sin ( w t + 30o ) dan y2 = 2 sin ( w t + 60o )
Cara matematis.
A1 = 3 cm dan A2 = 2 cm
clip_image048[1]
clip_image050
clip_image052
A = ....................
clip_image054
q = .......
Persamaan gerak superposisinya : y = ............ sin ( t + ....... )
ENERGI PADA GERAK HARMONIS SEDERHANA.
Pada gerak harmonik sederhana energi mekaniknya KEKAL.
E(total) = Ep + Ek
Ep = clip_image056k y2
= clip_image056[1]m w 2 A2 sin2 (w t + q )
Ek = clip_image056[2]m v2
= clip_image056[3]m {w A cos (w t + q )}2
= clip_image056[4]m w 2 A2 cos2 (w t + q )
E(total) = Ep + Ek
= clip_image056[5]m w 2 A2 sin2 (w t + q ) + clip_image056[6]m w 2 A2 cos2 (w t + q )
=clip_image056[7]m w 2 A2 ( sin2 (w t + q ) + cos2 (w t + q ))
=clip_image056[8]m w 2 A2 atau E(total) = clip_image056[9]k A2
-----o0o--o0o--o0o--o0o-----
CONTOH SOAL
(Di Diskusikan di kelas)
Contoh 1.
Suatu pegas jika diberi beban 1 kg bertambah panjang clip_image058, kemudian beban di tarik lagi ke bawah sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitunglah besar energi kinetik pada saat 1/3 detik. g = 10 m/s2.
Contoh 2.
Sebuah benda melakukan GHS dalam 11 detik melakukan 220 getaran. Pada saat simpangan 30 cm kecepatannya ½ kali kecepatan maksimumnya. Hitunglah amplitudo getaran ini.
Contoh 3.
Sebuah benda melakukan GHS pada saat simpangannya 5 cm kecepatannya 3 m/s pada saat simpangannya 3 cm kecepatannya 5 m/s. Hitunglah amplitudo GHS tersebut.
Contoh 4.
Suatu benda melakukan GHS, suatu saat perbandingan energi potensial dan energi kinetiknya adalah 1. Pada saat itu geraknya ke atas dan simpangan berada di bawah titik setimbang. Jika amplitudo GHS 10 cm dan waktu untuk mencapai keadaan itu clip_image060
Hitunglah kecepatan GHS saat itu.
Contoh 5.
Suatu benda melakukan GHS, pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang percepatannya 1000 p2 cm/s2 arah menuju titik setimbang dan arah geraknya ke bawah. Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan itu jika pada saat itu kecepatannya 100pclip_image062 cm/s.

0 komentar:

Poskan Komentar