0 Gerak Harmonik

Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.
Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah :
Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.
Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya sama dengan nol, beban diam.

Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini cenderung menggerakkan beban keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.
F = - k y ; k tetapan pegas.
Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).
Tanda negatif ( - ) harus digunakan karena arah F dan Y selalu berlawanan.
Menurut Hukum Newton II, pada gerak benda ini berlaku :
F = m .a
Gaya pemulih pada gerak benda ini adalah : F = - k . y

Persamaan ini disebut persamaan differensial gerak harmonik sederhana.


GERAK HARMONIK SEDERHANA.
Untuk mencari persamaan gerak harmonik sederhana dengan jalan mencari penyelesaian persamaan diferensial gerak harmonik sederhana yaitu suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga diturunkan dua kali terhadap t diperoleh negatif dari fungsi tersebut dikalikan dengan suatu. Fungsi yang mempunyai sifat demikian adalah fungsi Sinus atau fungsi Cosinus.
Misalkan diambil fungsi sinus sebagai penyelesaian : y = A sin ( w t + q )
dengan A, w, dan q masih harus dicari harganya.
Bila persamaan di atas diturunkan dua kali terhadap waktu t maka diperoleh :

Bila persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :

Jadi agar fungsi sin tersebut benar-benar menjadi penyelesaian persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :
atau
Jika waktu t dalam persamaan y = A sin ( w t + q ) ditambah dengan maka,
diperoleh :



Jadi fungsi tersebut berulang kembali setelah selang waktu . Oleh sebab itu, adalah periode geraknya, atau
Karena maka diperoleh :

dan
jadi :
Besaran w disebut juga frekwensi sudut (anguler), karena dapat diartikan sebagai besar sudut (dalam radian) yang dikelilingi perdetik.
Persamaan simpangan gerak harmonis adalah : y = A sin ( w t + q )
Perhatikan persamaan di atas.
Sinus mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1, simpangan y mempunyai maksimum A diukur dari posisi seimbang y = 0. A (y maksimum) disebut Amplitudo.
Besaran ( w t + q ) disebut fase gerak dan w disebut konstanta fase.
Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana dicari dengan jalan mendeferensialkan persamaan geraknya terhadap waktu.
Simpangan gerak harmonik sederhana : y = A sin ( w t + q )
Kecepatannya :
percepatannya :
PHASE ( j )
Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya). Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.

Bila titik Q telah bergetar t detik maka phasenya :
Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya :
Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q dalam hal yang pertama.
Mudah dipahami bahwa titik-titik yang phasenya keadaannya sama.
Perbedaan phase.
Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 , 4 , ..... dst.
Titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai perbedaan phase :
SUPERPOSISI 2 GERAK HARMONIK SEDERHANA YANG
FREKWENSINYA SAMA.
Misalkan sebuah benda melakukan 2 gerak harmonik secara bersama-sama dengan persamaan :
y₁ = A₁ sin ( w t + q₁ ) dan y₂ = A₂ sin ( w t + q₂ )
Gerak resultannya : y = y₁ + y₂
A sin ( w t + q ) = A₁ sin ( w t + q₁ ) = A₂ sin ( w t + q₂ )
Menurut rumus trigonometri :
A sin ( w t + q ) = A sin w t cos q + A cos w t sin q
A₁ sin ( w t + q₁ ) = A₁ sin w t cos q₁ + A₁ cos w t sin q₁
A₂ sin ( w t + q₂ ) = A₂ sin w t cos q₂ + A₂ cos w t sin q₂
Maka diperoleh hubungan :
A cos q = A₁ cos q₁ + A₂ cos q₂
A sin q = A₁ sin q₁ + A₂ sin q₂
jadi
Sedangkan amplitudo gerak resultan di dapat dengan mengkuadratkan persamaan di atas. Diperoleh :
A² = A₁ ² + A₂ ² + 2 A₁ A₂ cos ( q₁ - q₂ )
atau

Cara di atas adalah cara penyelesaian dengan matematis.
Berikut dapat diselesaikan dengan cara grafis.
yaitu dengan menggambar masing-masing persamaan gerak harmonis kemudian dijumlahkan secara aljabar dari masing-masing amplitudo setiap detik getarannya untuk dilukis.
Misal dua buah gerak harmonis masing-masing :
y₁ = 3 sin ( w t + 30^o ) dan y₂ = 2 sin ( w t + 60^o )
Cara matematis.
A₁ = 3 cm dan A₂ = 2 cm



A = ....................

q = .......
Persamaan gerak superposisinya : y = ............ sin ( t + ....... )
ENERGI PADA GERAK HARMONIS SEDERHANA.
Pada gerak harmonik sederhana energi mekaniknya KEKAL.
E_(total) = Ep + Ek
Ep = k y²
= m w ² A² sin² (w t + q )
Ek = m v²
= m {w A cos (w t + q )}²
= m w ² A² cos² (w t + q )
E_(total) = Ep + Ek
= m w ² A² sin² (w t + q ) + m w ² A² cos² (w t + q )
=m w ² A² ( sin² (w t + q ) + cos² (w t + q ))
=m w ² A² atau E_(total) = k A²
-----o0o--o0o--o0o--o0o-----
CONTOH SOAL
(Di Diskusikan di kelas)
Contoh 1.
Suatu pegas jika diberi beban 1 kg bertambah panjang , kemudian beban di tarik lagi ke bawah sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitunglah besar energi kinetik pada saat 1/3 detik. g = 10 m/s².
Contoh 2.
Sebuah benda melakukan GHS dalam 11 detik melakukan 220 getaran. Pada saat simpangan 30 cm kecepatannya ½ kali kecepatan maksimumnya. Hitunglah amplitudo getaran ini.
Contoh 3.
Sebuah benda melakukan GHS pada saat simpangannya 5 cm kecepatannya 3 m/s pada saat simpangannya 3 cm kecepatannya 5 m/s. Hitunglah amplitudo GHS tersebut.
Contoh 4.
Suatu benda melakukan GHS, suatu saat perbandingan energi potensial dan energi kinetiknya adalah 1. Pada saat itu geraknya ke atas dan simpangan berada di bawah titik setimbang. Jika amplitudo GHS 10 cm dan waktu untuk mencapai keadaan itu
Hitunglah kecepatan GHS saat itu.
Contoh 5.
Suatu benda melakukan GHS, pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang percepatannya 1000 p² cm/s² arah menuju titik setimbang dan arah geraknya ke bawah. Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan itu jika pada saat itu kecepatannya 100p cm/s.